导数零点定理公式推导过程

(b)>0，令

E={x|f(x)≤0，x∈[a，b]}。

由f(a)<0知E≠Φ，且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理

存在ξ=supE∈[a、b]

下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0，f(b)≠0，故此时必有ξ∈(a、b)），事实上

(i)若f(ξ)<0，则ξ∈[a、b)，由函数连续的局部保号性知

存在δ>0，对x1∈(ξ，ξ+δ)：f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE

这与supE为E的上界矛盾

(ii)若f(ξ)>0，则ξ∈(a，b]，仍由函数连续的局部保号性知

存在δ>0，对x1∈(ξ-δ，ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ

这又与supE为E的最小上界矛盾。

综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

导数零点定理公式推导过程

导数公式推导过程如下：

y=a^x，△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1），△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x。

如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β）。

所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β。

显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

常用导数：

y = C(C为常数) ， y' = 0。

y=xn， y' = nxn-1。

y = ax， y' = lna*ax。

y = ex， y' = ex。

y = logax ， y' = 1 / (x*lna)。

y = lnx ， y' = 1/x。

y = sinx ， y' = cosx。

y = cosx ， y' = -sinx。

y = tanx ， y' = 1/cos2x = sec2x。

y = cotx ， y' = -1/sin2x= -csc2x。

y = arcsinx ， y' = 1 / √(1-x2)。

y = arccosx ， y' = - 1 /√(1-x2)。

y = arctanx ， y' = 1/(1+x2)。