一、几何证明法：

过焦点F的弦AB长 = FA+FB = 离心率乘以(A到准线的距离+B到准线的距离)

= 2倍离心率·AB中点到准线的距离。

设AB中点为M，若FA ≥ FB，则F在线段BM上。

M到准线的距离 ≥ B到准线的距离，可知M到准线的距离 ≥ F到准线的距离。

而AB为通径时，M到准线的距离 = F到准线的距离。

此时M到准线的距离取到最小值，于是AB长度也取得最小值。

二、代数方程法：

设出椭圆方程为x^2/a^+y^2/b^2=1

过焦点F(c，0)的直线方程为x=my+c(这里不能设成y=k(x-c)，因为通径的斜率不存在)。

然后方程联立，利用弦长公式可整理成关于m的函数式。

从中求出当且仅当m=0时，弦长最短