标准正交基的充要条件

|我们知道.对于方阵A，总有： 

∑aijAkj＝δik|A|.（∑:求和项为 j＝1，2……，n.以下不再重复注明）. 

充分性证明： 

①|A|＝1，aij=Aij.上式成为∑aijakj＝δik.A满足行正交条件.A为正交矩阵. 

②|A|＝-1，aij=-Aij.还是有∑aijakj＝δik.A满足行正交条件.A为正交矩阵. 

必要性证明：A为正交矩阵，有∑aijakj＝δik.且|A|＝±1. 

先固定k.让i=1，2.…….n.得到一个非齐次线性方程组，系数矩阵是A. 

未知数是ak1，ak2，……，akn.常数列是（0，……，1，0……）′.唯一的 

一个1在第k个方程.按克莱木公式：akj＝Aj/|A|. 

Aj为A中第j列换为常数列而得的行列式.细看会知道Aj＝Akj. 

从而，当|A|＝1时，akj=Akj|A|=-1时，akj=-Akj. 

注意k的任意性.必要性成立.