R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mᵢⱼ）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n−1)×(n−1)矩阵的行列式。

定义：A关于第i行第j列的代数余子式是：

Cᵢⱼ=(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ。

定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i行第j列的代数余子式。

引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：

adj(A)=Cᐪ

也就是说，A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i行第j列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。简言之，伴随矩阵就是把原来矩阵每一行的代数余子式竖着写：

[adj(A)]ᵢⱼ=Cⱼᵢ。

例子

2x2矩阵

2x2矩阵：

伴随矩阵

它的伴随矩阵：

伴随矩阵