斯沃特定理

斯特瓦尔特定理

平面几何学定理之一

斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。该定理是由斯特瓦尔特提出的。在初高中数学竞赛中十分常见，特别是其推论，也就是能够直接写出三角形中线长和角平分线长的公式，以及平行四边形四条边平方和等于对角线平方和重要定理。

斯沃特定理

斯特瓦尔特定理、斯氏定理、斯坦沃特定理），又称为阿波罗尼奥斯定理：

任意三角形ABC中，D是边BC上一点，连接AD，则

设BC=a，AC=b，AB=c，BD=u，CD=v，AD=w，则

另一种表达形式：

即

2证明

过点A作AE⊥BC于E， 设DE = x(假设底边四点从左到右顺序为B、D、E、C） 则 AE^2 = b^2 - (v-x)^2 = c^2 - (u+x)^2 = AD^2 - x^2 若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v

所以有 AD^2 = b^2 - v^2 + 2vx

AD^2 = c^2 - u^2 - 2ux

1*u式+2*v式得

AD^2(u+v) = b^2u + c^2v - uv(u + v)

故 AD^2 = (b^2u + c^2v)/a - uv

1)当AD是△ABC中线时， u = v = 1/2a AD^2 = (b^2+c^2-(a^2)/2)/2

2)当AD是△ABC内角平分线时， 由三角形内角平分线的性质， 得u = ac/(b+c)， v =ab/(b+c)