两者词性不同、意思不同。

adult ：名词词性，一般指生理上的童年期已结束，达到法定年龄。

grow up：动词短语，意为成长、长大。

值得一提的是grown - up 也有成年、成长的意思，但多用于口语，含义与 adult 基本相同，但更侧重脱离儿童阶段，已成大人，与 childish 意思相反。