有限元高斯积分原理

原理的单元平衡方程是有限元计算的根本。其形式就是单元刚度矩阵(element stiffness matrix)乘以位移向量等于右边的荷载向量(right hand side vector)：

left[ K_E right]left{ Delta d right}_n=left{ Delta R_E right}

其中，[K_E]= int_{Volume} [B]^T [D] [B]d Vol 为单元刚度矩阵。

{Delta R_E}=int_{Volume} [N]^T{Delta F})d Vol +int_{Surface}[N]^T {Delta T} d Surf 为右侧的单元荷载向量。

这里的d Vol是体积的微分，在二维问题里，写开来其实就是tcdot dxcdot dy（所以 d Surf 当然是dxcdot dy啦）。 进一步放到母单元中可以写成 d Vol = t cdot dxcdot dy= t cdot left| J right|cdot dS cdot dT ，那么

[K_E]=int_{-1}^{1}int_{-1}^{1}t[B]^T [D] [B] left| J right|cdot dS cdot dT，右边的荷载向量也可以用Jacobian矩阵做mapping，然后积分。

有限元高斯积分原理

高斯积分法的原理其实很简单，我们要对一个函数在 [公式] 区间内求积分，即 [公式] ，在我们有限元里就是其数值解可以通过某几个点的函数值加权来确定各个高斯积分点的函数值。