将N的所有子集分为两大类A类和B类，其中A类中的子集均含有元素n，B类中的子集不含有元素n，任意B类中的集合添上元素n即为A类中的集合，且不同的B类中的子集添上元素n后所得的A类中的集合也不同，故A，B两类子集的个数一样多，且一一对应，N所有子集有2^n个，故A，B两类子集的个数均为(2^n)/2=2^(n-1)
设S是B类集合中任意一个子集，S1=S∪{n}是A中与S对应的有子集，S中元素的“交替和”与S1中元素的“交替和”之和恰等于n，这是因为出现在S，S1中的同一元素在“交替和”中符号相反，相加时互相抵消，仅剩下n，故两者相加为n.
如：
设S={a1，a2，…，ak}，其中a1>a2>…>ak，S的“交替和”为a1-a2+a3-，…，+(-1)^(k-1)ak，S1的“交替和”为n-a1+a2-a3-，…，+(-1)^kak，两者相加为n，A中子集与B中子集有对应关系的共有2^(n-1)，于是N的所有子集的“交替和”之和为n×2^(n-1).
