1931年，哥德尔提出了一系列不完备定理并予以证明：

①任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在至少一个命题：它在这个系统中既不能被证明也不能被证否。

②如果一个形式系统含有初等数论，当该系统自洽（所有公理都不互相矛盾）时，它的自洽性不可能在该系统内证明。