1、 对矩阵，施行标准，程序的初等行变换，把矩阵化成行阶梯形，矩阵的最高阶非零子式，可取为它的非零行的非零首元，所在的行和列，构成的子式。
2、 相应于的这些行和列，取中对应的行和列，构成的子式，即为一个最高阶非零子式。
3、 这样选出的这个子式，对它施行与上述，对矩阵的这些行，一样的初等行变换后，此行列式恰好，化为上三角行，行列式，它与非零子式，仅相差一个非零常数倍，从而就是一个阶非零子式，即它是一个最高阶非零子式。
1、 最高阶非零子式，就是矩阵A中含有一个不等于零的r阶子式D，然后且r+1阶都等于零，那么D称为矩阵的最高阶非零子式。
2、 最高阶非零子式，要在矩阵D化成最简形d后取，因为这样比较直观的看出非零子式，并不是要在化后的式子中取，而是要在D中取，只不过是要通过d，较直观的看出，然后再进行在D中取。
注：用初等行变换(不交换行)化成梯矩阵
非零行的首非零元所在列构成一个最高阶非零子式：
2 1 8 3 7
2 -3 0 7 -5
3 -2 5 8 0
1 0 0 2 0
r1-2r4，r2-2r4，r3-3r4
0 1 8 -1 7
0 -3 0 3 -5
0 -2 5 2 0
1 0 0 2 0
r2+3r1，r3+2r1
0 1 8 -1 7
0 0 24 0 16
0 0 21 0 14
1 0 0 2 0
r3-(21/24)r2
0 1 8 -1 7
0 0 24 0 16
0 0 0 0 0
1 0 0 2 0
容易看出2，3行成比例，所以第1，2，4行，1，2，3列构成一个最高阶非零子式。
扩展资料：
变化规律
(1)转置后秩不变
(2)r(A)<=min(m，n)，A是m*n型矩阵
(3)r(kA)=r(A)，k不等于0
(4)r(A)=0 <=> A=0
(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)
(6)r(AB)<=min(r(A)，r(B))
(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)
证明：
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵，有
|0 A |
|-B En|
所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)
注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n matrix。
特别的：A:m*n，B:n*s，AB=0 -> r(A)+r(B)<=n
(8)P，Q为可逆矩阵， 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
在m*n矩阵A中，任取k行与k列（k<=m，k<=n），位于这些行列交叉处的k^2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.
